给定抛物线C:y^2=4x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A,B两点,设直线l的斜率为1,

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/13 14:02:27
求向量OA与向量OB的夹角的大小.

设A(x1,y1)B(x2,y2)

F(1,0)直线l的方程为y=x-1
代入y^2=4x
(x-1)^2=4x
x^2-6x+1=0
(x-3)^2=8
x1=3+2√2,x2=3-2√2
y1=2+2√2,y2=2-2√2
x1+x2=6
x1x2=1
OA*OB=x1x2+y1y2=x1x2+(x1-1)(x2-1)=2x1x2-(x1+x2)+1
=2-6+1=-3

解：抛物线的焦点为F（1，0），直线l的方程为：x=y+1；
将其代入抛物线方程得：y2-4y-4=0设A（x1，y1），B（x2，y2），
则有y1+y2=4，y1y2=-4，
又x1=14y12，x2=14y22，
∴x1x2=116（y1y2）2=1．
AB•
OB=（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2=-3．
|OA|•|OB|=x21+
y21•
x22+
y22=(x1x2) 2+( y1y2) 2+
116(y1y2) 2[(y1+y2) 2-2y1y2] =41，
∴cos＜OA，OB＞=OA•
OB|
OA|• |
OB|=-3
4141
故OA与OB夹角为x-arccos3
4141．
故答案为：x-arccos3
4141．